Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
SABCD — правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 37. Точка М — середина ребра SA. Точка N ∈ SD, DN : NS = 1 : 3. Найдите длину отрезка, по которому плоскость, проходящая через точки N, М, В, пересекает основание ABCD пирамиды.
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
Решение.
Построим сечение: соединим точки B и M, M и N. Проведем MN до пересечения с продолжением стороны AD в точке R. Соединим точки B и R, прямая BR пересекает CD в точке P, сечение BMNP — искомое. Найдем длину отрезка BP.
По теореме Менелая для треугольника ASD и прямой MR получаем:
Треугольники PDR и BAR подобны с коэффициентом 
следовательно, 
Поскольку 
получаем, что 
Тогда
Ответ: 1.
Сложность: II
Методы геометрии: Использование подобия, Теоремы Чевы, Менелая, Ван-Обеля
Классификатор стереометрии: 3\.3\. Правильная четырёхугольная пирамида